L'EFFET  DOPPLER

 l' = l (1 b cos j)

 

English              par Gabriel LaFrenière.        absolu2000@hotmail.com

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 L'interféromètre de Michelson.  Les champs magnétiques.  La lumière.
 La transformation de Lorentz.  Les ondes stationnaires.  La gravité.
 La théorie de la Relativité.  Les électrons.  Les quarks.
 La mécanique ondulatoire.  L'effet Doppler.  

Avertissement.

Cette page devrait être abordée avec prudence, sinon avec méfiance. Sauf erreur, elle décrit l'effet Doppler selon la physique classique. Mais elle le fait dans le but de montrer que la transformation de Lorentz est la conséquence de l'effet Doppler. Il s'agira ensuite de montrer que la théorie de la Relativité est la conséquence de la transformation de Lorentz.

Vue de cette manière, cette Relativité est pratiquement identique à la théorie de la Relativité restreinte d'Albert Einstein, publiée en 1905. Toutefois il apparaît très nettement qu'il s'agit en réalité d'une découverte de Henri Poincaré, puisque ce dernier l'a présentée dès 1904. Encore aujourd'hui, on parle du postulat de Relativité de Poincaré, mais la renommée d'Albert Einstein est telle qu'il a complètement éclipsé celui qu'il a purement et simplement copié.

Personnellement, je considère qu'il s'agit d'une injustice grave. Je ne suis pas un historien des sciences, mais j'ai pu consulter de nombreux textes qui indiquent clairement qu'Albert Einstein était aux premières loges des événements scientifiques de l'époque. En 1904, il était parfaitement au courant du résultat spectaculaire des recherches conjointes de Lorentz et de Poincaré, alors que son texte de 1905 n'en fait aucune mention. Ce comportement a un nom : du plagiat.

Le point de vue relatif et le point de vue absolu.

D'un autre côté, Poincaré et Einstein on fait erreur en excluant le point de vue absolu des choses, et tout ceci n'est donc que de l'histoire ancienne. Au contraire, Lorentz a bel et bien envisagé la contraction réelle de la matière, et non pas la « contraction de l'espace ». Conformément à sa célèbre transformation, il a aussi envisagé le ralentissement réel des horloges, et non pas le « ralentissement du temps ». Le problème, c'est qu'il n'y a jamais vraiment cru, pas plus que ses contemporains d'ailleurs.

Il faut pourtant réaliser que les faits tels qu'ils se produisent réellement, donc d'une manière absolue, ne peuvent pas correspondre à ce que nous en voyons, et qui est relatif. La lumière qui nous informe est altérée par l'effet Doppler, et il s'agira ici de montrer de quelle manière.

Cette étude propose des faits nouveaux en ce qui concerne la matière et sa mécanique, mais elle ne présente rien de neuf en ce qui concerne la Relativité. Elle répète simplement ce qu'affirmait Lorentz.

Cette Relativité fondée sur la transformation de Lorentz devra être désignée sous le nom de Relativité lorentzienne. Elle est analysée sommairement à la page sur la théorie de la Relativité. Ceux qui voudront l'étudier plus en profondeur (et sans doute avec plus d'exactitude) devront donc se reporter ensuite à l'œuvre de Lorentz et de Poincaré.

La Relativité lorentzienne.

De nombreux auteurs ont réalisé récemment que cette « nouvelle » Relativité, vieille d'un siècle et pourtant méconnue, était tout aussi valable, sinon plus que celle d'Einstein. Elle peut en effet expliquer de nombreux phénomènes physiques d'une manière plus logique. Elle permet aussi de lever tous les paradoxes, par exemple celui du voyageur de Langevin, le fameux « paradoxe des jumeaux ». Il faut toutefois se méfier des interprétations douteuses, en particulier en ce qui concerne toute vitesse supérieure à celle de la lumière. Poincaré a noté avec raison c'était impossible.

De plus la présente étude montre que la matière est faite d'ondes stationnaires. Or les ondes stationnaires se transforment précisément selon les prévisions de Lorentz et de Poincaré.

Un fait nouveau.

 Bien que nos opinions divergent en ce qui concerne le reste, je tiens à mentionner que c'est M. Serge Cabala qui a signalé le premier cette propriété des ondes stationnaires, et le lien avec la matière. D'autres l'ont confirmé par la suite. Ceci signifie qu'il existe désormais une explication mécanique au fait que l'interféromètre de Michelson se contracte et qu'il soit incapable de détecter le vent d'éther. Lorentz et Michelson ignoraient ce détail. Il fait toute la différence, car il faut en conclure que l'éther existe vraiment. On peut même affirmer qu'il n'existe rien d'autre.

Dans ce contexte il faut reconnaître que Lorentz avait raison sur toute la ligne. C'est de toute évidence la Relativité de Lorentz qu'il faut retenir, Poincaré et Einstein ayant rejeté son côté absolu. Non seulement elle s'avère étonnamment pertinente, mais elle est aussi étonnamment simple, puisqu'elle se résume à l'énoncé suivant : 

 

De son point de vue tout corps matériel semble au repos, et tout autre corps ne semble agir, réagir et se soumettre à la transformation de Lorentz que selon sa vitesse apparente.

 

Christian Doppler.

On parle souvent de l'effet Doppler-Fizeau. Hippolyte Fizeau a effectivement découvert ce phénomène indépendamment de Doppler, et à peu près à la même époque. Mais c'est Christian Doppler qui a la priorité, car il a publié dès 1842 un article sur le comportement des ondes. Si elles sont émises par un dispositif mobile, il en résulte une distorsion. Si elles sont reçues par un dispositif mobile, cette distorsion est identique mais inversée.

Doppler en a déduit dès ce moment que l'effet qui porte maintenant son nom est imperceptible si ces deux dispositifs se déplacent dans le même sens et à la même vitesse, donc à l'intérieur d'un même « référentiel galiléen » en mouvement de translation uniforme. En plus clair, un observateur qui suit ou qui précède à la même vitesse une ambulance qui fait entendre sa sirène ne perçoit aucun effet Doppler, même s'il s'en produit un dans les faits.

Cette découverte est capitale, car elle montre qu'on peut continuer d'appliquer le principe de Relativité de Galilée même en ce qui concerne les ondes. Ni le son ni la lumière ne semblent affectés par le déplacement du médium élastique (l'air ou l'éther) qui circule entre deux observateurs fixes, pas plus que si ce sont ces observateurs eux-mêmes qui se déplacent. Il est donc difficile en première analyse d'utiliser des ondes pour détecter le déplacement du médium qui véhicule ces ondes. En fait, pourvu que la matière se transforme réellement selon les prévisions de Lorentz, toutes les anomalies qui permettraient de détruire ce principe de Relativité de Galilée disparaissent comme par magie.

Une version améliorée.

La Relativité est donc une version améliorée du principe de Relativité de Galilée, compte tenu de l'effet Doppler et donc de la transformation de Lorentz. Comme on l'a vu plus haut, elle indique elle aussi que n'importe quel observateur peut toujours se considérer au repos.

Ainsi, on peut dire que Christian Doppler est le précurseur de la Relativité. S'il avait analysé un peu plus attentivement ce phénomène, comme l'ont fait plus tard Woldemar Voigt, Hendrik Lorentz et Henri Poincaré, il en serait arrivé aux mêmes conclusions qu'eux.

Johann Christian Doppler (1803-1853)

L'effet Doppler.

Un émetteur qui se déplace produit forcément des couches d'ondes sphériques successives à des endroits différents. Il étire donc la longueur d'onde vers l'arrière et il la comprime vers l'avant. En conséquence, la sirène d'une ambulance émettra un son plus aigu si elle s'approche. Le son deviendra au contraire plus grave si elle s'éloigne.

L'équation qui en rend compte est élémentaire. On peut évaluer l'effet Doppler en longueur d'onde  l  ou en fréquence F. La valeur bêta  b  est la vitesse absolue selon : v / c. La moitié de la vitesse du son ou de celle de la lumière correspond ainsi à : b = 0,5. L'angle  j  est l'angle de propagation. Cette formule peut même être simplifiée davantage si les ondes sont émises droit vers l'avant ou vers l'arrière :

l' = l (1 b cos j)

F' = F / (1 b cos j)

Les ondes sont émises vers l'avant : 1 b

Les ondes sont émises vers l'arrière : 1 + b

Les conventions.

Les ondes s'évaluent en longueur d'onde ou en fréquence. La lettre grecque lambda  l  désigne la longueur d'onde. Il s'agit de la distance entre deux crêtes successives. Par exemple la lumière verte, celle que l'œil voit le mieux, possède une longueur d'onde de :  l = 0,00055 mm (vert lime).

La fréquence F est donnée en Hertz. Il s'agit du nombre de pulsations ou de cycles par seconde. Par exemple, la fréquence de 440 Hz est généralement admise en musique comme le « la international ». Il faut bien comprendre que n'importe quel phénomène périodique régulier semble subir le même effet Doppler s'il est observé au moyen des mêmes ondes. Par exemple, des signaux sonores émis à toutes les secondes ne seront plus reçus à toutes les secondes, d'où un double effet Doppler affectant de la même manière non seulement la fréquence du son mais aussi la fréquence des signaux que portent ces sons.

La fréquence  F  correspond à la réciproque de la longueur d'onde et inversement si les distances sont évaluées en « secondes son », c'est à dire 340 mètres. Ainsi le « la international » selon : F = 440 Hz produit une longueur d'onde de 1 / 440 seconde son. On a en définitive 340 / 440 = 0,77 mètre ou 77 cm. Un tuyau d'orgue long de 77 / 2 = 38,6 cm produit le la international puisqu'un tel tuyau vibre en demi-onde s'il est ouvert aux deux bouts.

On peut donc convertir la longueur d'onde d'un son exprimée en mètres en sa fréquence en Hertz ou inversement (au niveau de la mer et à la température normale) selon la constante d'une seconde son, qui vaut 340 mètres :

l = 340 / F          F = 340 / l

C'est la même chose dans le cas de la lumière. On utilise plus volontiers les « années lumière » en astronomie, mais Lorentz et Poincaré on noté qu'on pouvait simplifier les équations en évaluant les distances en « secondes lumière », soit 299 792,458 km. C'est à peu près la distance de la Terre à la Lune. La vitesse de la lumière  c  vaut alors 1, soit une seconde lumière par seconde. La vitesse de la lumière au carré demeure 1, et ce chiffre peut donc être éliminé des équations.

Mieux encore, la vitesse d'entraînement d'un émetteur ou d'un récepteur, évaluée en secondes lumière par seconde, varie alors de 0 à 1, ce qui permet de simplifier davantage ces équations. Cette vitesse d'entraînement est alors représentée par la fameuse valeur bêta  b.

La valeur bêta.

Lorentz et Poincaré utilisaient une valeur bêta  b  qui s'établit selon la vitesse d'entraînement  v  d'un émetteur ou d'un récepteur comparativement à la vitesse  c  de l'onde à travers un médium donné. On parle généralement de la vitesse de la lumière, mais ce pourrait tout aussi bien être la vitesse du son :

b = v / c

À l'aide de ces quelques indications, nous pouvons maintenant revoir les formules données plus haut. Celles qui concernent la fréquence correspondent à la réciproque :

1 Les ondes sont émises vers l'avant :  l' = l (1 b)          F' = F / (1 b)

2 Les ondes sont émises vers l'arrière :  l' = l (1 + b)          F' = F / (1 + b)

3 Selon un angle de propagation  j l' = l (1 b cos j)       F' = F / (1 b cos j)

Par convention, l'angle de propagation  j  est nul à l'avant et il atteint 180° à l'arrière. Par ailleurs, on peut représenter chacune des surfaces d'onde qu'un émetteur mobile produit par une série de sphères non concentriques. Leur centre de courbure doit être uniformément décalé d'une valeur constante, soit bl, et la vitesse doit être suffisante pour que cette valeur soit significative. Le diagramme montré ci-dessous propose la vitesse de 0,5 c et un angle de propagation  j  de 120° :

 

L'effet Doppler normal.

l' = l (1 b cos j)

L'avion ou le vaisseau spatial.

L'émetteur d'ondes pourrait être un avion dont la vitesse vaut la moitié de la vitesse du son, soit 612 km/h. Mais ce pourrait tout aussi bien être un vaisseau spatial du futur qui fonce à la moitié de la vitesse de la lumière, soit 150 000 km/s. On considère la longueur d'onde que cet émetteur produirait s'il était parfaitement au repos. 

Selon que l'observateur au repos et équipé d'un récepteur d'ondes se trouve à l'avant, à l'arrière, ou selon un angle de 120°, les formules indiquent que la longueur d'onde modifiée devrait être reçue respectivement selon 0,5 ou 1,5 ou encore 1,25 fois la longueur d'onde originale.

L'ambulance.

Supposons que la sirène d'une ambulance donne le la international à 440 Hz lorsqu'elle est au repos. On a vu que la longueur d'onde de ce son vaut 0,77 mètre. Mais si l'ambulance se déplace à 100 km/h, la vitesse du son étant de 1224 km/h, on aura une valeur bêta de 100 / 1224, soit 0,0817.

l = 0,77 m          F = 440 Hz          b = 0,0817

On en conclut que ceux qui se trouvent à l'avant de l'ambulance entendront la sirène selon une longueur d'onde de  0,77 (1 b)  ou l' = 0,707 mètre et selon une fréquence de  F' = 440 / (1 b) ou 479 Hz.

À l'arrière, on aura : 0,77 (1 + b)  ou l' = 0,833 mètre et selon :  F' = 440 / (1 + b) ou 407 Hz.

L'effet Doppler selon l'angle de propagation.

Puisque le cosinus de 90° vaut zéro, on peut en déduire que l'effet Doppler est nul dans les directions transversales. Il semblerait également nul si l'ambulance tournait autour de l'observateur à grande vitesse, mais il s'agit ici d'un cas très particulier qui dépasse le propos de cette page.

Supposons que l'observateur est placé à 45° ou à 315°, donc d'un côté ou de l'autre de l'axe du déplacement de l'ambulance, mais à l'avant. Il entendra le son selon :

l' = 0,77 (1 0,0817 cos 45°)          l' = 0,7255 mètre.

F' = 440 / (1 0,0817 cos 45°)          F' = 467 Hz.

 

 

L'effet Doppler virtuel.

L'expression « effet Doppler virtuel » est peu usitée mais elle souligne très bien le fait que cet effet Doppler n'a pas réellement lieu. Les ondes ne sont pas modifiées ni en fréquence ni en longueur d'onde tant qu'elles se propagent. C'est seulement la cadence de réception qui varie si c'est le dispositif récepteur qui se déplace. En conséquence il n'est plus possible de considérer la longueur d'onde.

Cette notion de cadence mérite qu'on s'y arrête un moment, ne serait-ce que pour éviter de la confondre désormais avec la fréquence.

La cadence.

La théorie de la Relativité nous avait habitués à ignorer les faits tels qu'ils se présentent, en simplifiant à outrance des situations plus complexes. Il est tout à fait inexact de prétendre qu'il n'y a pas d'effet Doppler si un observateur suit une ambulance qui fait entendre sa sirène. Il faut bien comprendre que les ondes sont réellement affectées, mais qu'il est impossible de s'en rendre compte.

L'animation suivante montre ce qui se passe lorsque des avions se suivent à la moitié de la vitesse du son. On suppose encore une fois qu'ils émettent un son sur la fréquence de 440 Hz : 

 

 Les ondes trois fois plus longues sont trois fois plus rapides, d'où une même cadence.

 

La moitié de la vitesse du son correspond à une valeur bêta de :  b = 0,5. Le rapport  R  des longueurs d'onde entre l'effet Doppler avant et arrière vaut :

R = (1 + b) / (1 b)          R = 3          b  =  (R 1) / (R + 1)

Ce rapport valant 3, les ondes qui circulent vers l'arrière sont trois fois plus longues que celles qui circulent vers l'avant. Mais d'un autre côté elles se déplacent trois fois plus vite comparativement aux avions. On en conclut que la cadence de réception sera strictement la même dans les deux sens, d'où un effet Doppler apparemment nul. C'est tout à fait ce que Christian Doppler avait prévu.

Mais ce n'est pas tout. L'animation montre des repères qui soulignent les endroits où les ondes se rencontrent. D'une manière remarquable, on constate qu'elles se rencontrent toujours aux mêmes endroits, du moins du point de vue des pilotes de ces avions. En réalité ces endroits se déplacent.

Les ondes stationnaires.

Sachant que des ondes qui se rencontrent en sens inverse produisent des ondes stationnaires, on en conclut qu'il en résultera des « ondes stationnaires mobiles » et que ces pilotes en seront complètement mystifiés. Toutefois ils seront parfaitement capables de mesurer la longueur apparente de ces ondes à l'aide du test de Hertz, lequel fut le premier à mesurer les ondes radio. Ils pourront donc mesurer leur vitesse conformément aux calculs de Michelson. Toutefois ce test ne mesure que l'emplacement des ventres ou des nœuds ; il ne leur permettra donc pas de détecter les deux longueurs d'onde distinctes.

Le test de Hertz indiquera une compression apparente de la longueur d'onde du son selon le carré du coefficient de transformation  g  de Lorentz, qui détermine la valeur de la compression de la matière selon la transformation de Lorentz. Par contre, conformément aux calculs de Michelson, la contraction se fera plutôt selon le coefficient  g  sur un axe transversal :

g  = (1 b 2 ) 1 / 2  = 0,866

Contraction des ondes stationnaires sur l'axe du déplacement :  1 b 2  = 0,75

Contraction des ondes stationnaires sur un axe transversal :  (1 b 2 ) 1 / 2  = 0,866

On constate ainsi que le seul fait d'observer le comportement des ondes stationnaires qui subissent l'effet Doppler conduit à la transformation de Lorentz, et que Christian Doppler lui-même aurait pu s'en rendre compte. Les chiffres qu'il faut utiliser dans le cas de l'interféromètre de Michelson concordent aussi avec ce coefficient de transformation, ce qui signifie qu'Albert Michelson était lui aussi très près de la vérité.

Par contre, si les pilotes d'un vaisseau spatial fonçant à 150 000 km/s voulaient faire ce test à l'aide de la lumière, ils seraient incapables de détecter leur vitesse à travers l'éther, précisément parce que la matière aussi est faite d'ondes stationnaires. Leur interféromètre aussi se contracterait dans les mêmes proportions, et la compression des ondes deviendrait apparemment nulle. Ce résultat nul conduit à la Relativité.

Albert Einstein affirme que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels galiléens. C'est tout à fait faux. Mais il est tout à fait exact qu'elle semble effectivement la même.

L'effet Doppler virtuel.

On a vu que c'est la cadence de réception et non pas la fréquence réelle qu'il faut considérer si le dispositif récepteur se déplace à travers le médium qui véhicule les ondes. Toutefois le résultat est le même en pratique, ce qui explique qu'on fasse très rarement cette distinction. On note que les formules qui en rendent compte sont inversées de manière à produire une annulation pure et simple à l'intérieur d'un même « référentiel galiléen » :

1 Le récepteur se dirige vers l'émetteur :  F' (cadence) = F (1 + b)

2 Dans la direction opposée :  F' = F (1 b)

3 Selon une direction d'angle  j :  F' = F (1 + b cos j)

Vous roulez à 100 km/h derrière une ambulance dont la sirène émet un son de 440 Hz. On a vu plus haut que l'effet Doppler réel vaut :

F = 440 Hz          b = 0,0817          F' = 440 / (1 + b) ou 406,8 Hz.

La fréquence de ces ondes vaut réellement 406,8 Hz. Mais vous allez à leur rencontre à la vitesse de 100 km/h. La « cadence » de réception de ces ondes en sera augmentée selon :

F = 406,8 Hz          b = 0,0817          F' (cadence) = 406,8 (1 + b) ou 440 Hz.

Finalement, on a : F' = F (1 + b) / (1 + b)  et donc : F' = F.

 

L'effet Doppler relatif.

Peu d'auteurs mentionnent qu'il existe un effet Doppler relatif, c'est à dire tel qu'il est observé à l'intérieur du même référentiel galiléen. Supposons par exemple que deux avions volent dans le même sens et à la même vitesse, mais pas nécessairement sur le même axe.

On peut se demander combien de temps il faudra au son pour aller d'un avion à l'autre, et donc quelle sera la vitesse relative du son (ou de la lumière). On voudra aussi savoir quelle sera la longueur d'onde, telle que mesurée sur l'axe qui unit les deux avions. Le tableau suivant montre une telle situation, encore une fois en prenant la moitié de la vitesse du son comme exemple :

 

L'effet Doppler relatif.

l' = l (cos (arc sin (b sin j) ) – b cos j)

 

En principe il faut utiliser le théorème d'Al Kashi sur les triangles non rectangles. D'une part le côté opposé à l'angle  j  représente la distance d'une seconde son au carré, qui demeure une seconde son (ou une seconde lumière). D'autre part la valeur bêta  b  peut être attribuée à l'un des côtés adjacents à cet angle, et alors l'effet Doppler relatif varie selon le troisième côté représenté par le coefficient  a  ci-dessous :

a 2 + b 2 + 2 . a . b . cos j  =  1

Toutefois il vaut mieux aller chercher la hauteur du triangle par trigonométrie élémentaire, ce qui donne une formule plus fonctionnelle. On peut alors obtenir sans détour la vitesse relative V du son ou de la lumière, le temps  t  en secondes qu'ils mettront pour franchir une distance L exprimée en secondes son ou en secondes lumière, ou encore l'effet Doppler en longueur d'onde. Il faut répéter que pour que ce calcul se vérifie, il faut que l'observateur se déplace avec la source :

V = cos (arc sin (b sin j) ) – b cos j

t = L / (cos (arc sin (b sin j) ) – b cos j)

l' = l (cos (arc sin (b sin j) ) – b cos j)

Les calculs sur l'interféromètre de Michelson font intervenir cette formule, ou l'équivalent, car c'est en raison de la différence de vitesse relative de la lumière selon la direction que Michelson a conçu cet interféromètre. Les formules montrées plus haut (contraction des ondes stationnaires selon g et selon g au carré) dérivent donc aussi du théorème d'Al Kashi.

Selon l'exemple montré ci-dessus, un avion qui en suit un autre à la moitié de la vitesse du son, et selon un angle de 150°, devrait constater que la longueur d'onde est augmentée à 1,4 fois sa longueur normale. La vitesse relative de ce son semblera accélérée à 1,4 fois sa vitesse normale. Ainsi le son parcourra 1,4 seconde son par seconde et il parviendra plus rapidement à l'avion qui le suit, soit selon 1 / 1,4 et donc 0,7 fois le temps normal.

La Relativité : un début d'explication.

Ce résultat est l'un des éléments qui permet d'expliquer la Relativité, car il devient évident que l'effet Doppler de la lumière indique uniquement la différence de vitesse. Il n'est jamais possible pour un observateur donné de connaître sa vitesse absolue en considérant l'effet Doppler.

D'un autre côté la transformation de Lorentz fait en sorte qu'il s'établit une réciprocité entre les résultats obtenus par deux observateurs dont la vitesse n'est pas la même. L'effet Doppler produit une distorsion que la transformation de Lorentz compense.

Dans ces conditions, personne n'est en mesure de déterminer qui se déplace vraiment. D'une manière remarquable, tout se passe comme si l'éther n'existait pas.

L'addition apparente des vitesses.

Seul un observateur au repos comparativement au médium élastique (l'air ou l'éther) perçoit l'effet Doppler tel qu'il se produit réellement, et il faut bien comprendre qu'il s'écoule un délai entre l'émission des ondes et leur réception. Cet observateur ne verra donc plus l'émetteur là où il se trouvait au moment de l'émission du son. Mais si cet observateur est aveugle, et s'il se déplace alors qu'il est enfermé dans un habitacle qui l'empêche de percevoir le sifflement de l'air, il sera incapable de déterminer ce qui se passe vraiment d'après ce qu'il entend.

De la même manière, il est évident qu'une galaxie qui s'éloigne à une vitesse proche de celle de la lumière ne se trouve plus là où elle se trouvait au moment où elle a émis sa lumière. Il y a là de quoi réfléchir, car nous ne disposons d'aucun autre moyen que la lumière pour connaître son emplacement actuel. Si elle a mis 10 milliards d'années pour atteindre une vitesse proche de celle de la lumière, en accélération continue selon la constante de Hubble, ne serait-il pas logique de penser que sa vitesse actuelle, dix milliards d'années plus tard, dépasse largement celle de la lumière ?

La Relativité de Lorentz offre une réponse simple à cette question : ce que nous voyons n'est pas réel. Pas plus que ce que nous entendons si nous nous déplaçons. D'une part cette galaxie pourrait tout aussi bien être au repos si c'était notre propre galaxie qui s'éloignait. D'autre part l'effet Doppler est exponentiel alors que la vitesse absolue s'additionne de manière linéaire. Poincaré en a tiré une équation qui rend compte de l'addition apparente des vitesses :

Vitesse apparente  =  (v1 + v2) / (1 + v1 . v2 / c 2 )

D'où :  (b1 + b2) / (1 + b1 . b2)  =  0,9897 c   avec :  b1 = b2 =  0,866

 Cette équation est géniale. Il en ressort que deux observateurs qui foncent l'un vers l'autre, chacun à la vitesse de 0,866 c, continuent de se croire au repos. Ils voient l'autre s'approcher à la vitesse de 0,9897 c. L'addition de leur vitesse ne semble donc en aucun cas dépasser la vitesse de la lumière, mais il est clair que leur vitesse relative réelle dépasse effectivement celle de la lumière, c'est à dire deux fois 0,866 c et donc 1,732 c.

Une bonne part de la Relativité s'explique tout simplement par l'effet Doppler, sans même qu'il soit nécessaire d'invoquer la transformation de Lorentz. Nous pouvons vérifier la vitesse du son grâce à la lumière, mais nous ne pouvons pas vérifier la vitesse de la lumière à l'aide de la lumière. Nous pouvons voir et donc vérifier ce que nous entendons, mais à cause de l'effet Doppler nous ne pouvons pas vérifier ce que nous voyons.

 

Henri Poincaré.

La procédure de réglage des horloges par signaux optiques.

À ce stade, nous sommes déjà en mesure de vérifier que la transformation de Lorentz peut être évaluée selon l'effet Doppler. C'est d'ailleurs une chose bien établie, car cette transformation a été élaborée conjointement par Lorentz et par Poincaré à partir de la transformation de Voigt.

Woldemar Voigt.

Woldemar Voigt a publié dès 1887 les résultats de ses travaux sur l'effet Doppler appliqué aux équations de Maxwell. Il a montré qu'une certaine transformation rendait ces équations invariantes à l'intérieur de n'importe quel référentiel galiléen, peu importe sa vitesse. Après analyse, on constate que les équations données par Voigt reflètent tout simplement le comportement des ondes stationnaires, tel qu'on l'a montré plus haut :

Contraction des ondes stationnaires sur l'axe du déplacement :  1 b 2

Contraction des ondes stationnaires sur l'axe transversal :  (1 b 2 ) 1 / 2

De plus on peut montrer facilement qu'une contraction des distances aboutit forcément à un ralentissement de la mesure du temps. En effet la vitesse peut se mesurer en kilomètres par heure. On a très simplement : v = x / t. Il est évident que si la mesure des kilomètres est modifiée, il faut aussi modifier la mesure du temps de manière à ce que la vitesse demeure la même. En supposant que x est modifié selon une certaine valeur g, on devra également modifier  t  selon la même valeur :

v = x / t          x = v t

x' = x v t    (Galilée)

x' = (x v t) / g    (Voigt)

Les équations de Maxwell n'ont donc rien à voir avec la découverte de Voigt. On peut affirmer qu'il s'agit beaucoup plus généralement du comportement des ondes, quelles qu'elles soient. Les calculs de Michelson aux fins de mettre au point son interféromètre confirment d'ailleurs exactement les prévisions de Voigt. En toute justice, il faudrait parler de la transformation de Michelson dans le cas des ondes stationnaires. L'expérience de Michelson (aussi en 1887) ayant abouti à un résultat nul, on sait que FitzGerald, Larmor et Lorentz ont présumé que l'interféromètre devait se contracter.

Le problème, après que ces résultats furent connus, c'est que la valeur exacte de la transformation (selon une constante  g  non définie par Voigt, et que Lorentz a eu l'idée géniale d'appliquer à la matière) demeurait un mystère. On connaissait la proportion, qui correspond au rapport entre la contraction des ondes stationnaires sur les axes  x  et  y, mais Lorentz lui-même n'a pas su parvenir au bon résultat.

C'est Henri Poincaré qui a trouvé la valeur correcte en 1904, et tout indique que c'est parce qu'il avait précédemment mis au point une procédure de réglage des horloges par signaux optiques. Voici le lien vers le compte-rendu d'une conférence de M. Peter Galison, de Harvard. Celui-ci pense avec raison que la Relativité est fondée sur cette procédure.

La convention de synchronisation de Poincaré.

Poincaré avait noté que dans l'éventualité où la Terre se déplacerait à grande vitesse à travers l'éther, le fait de synchroniser les horloges à l'aide de signaux optiques aboutirait à un décalage horaire. Il parlait d'heures locales.  

Considérons les vaisseaux de l'espace du futur A, O et B montrés ci-dessous. On présume que la distance entre A et B est d'une seconde lumière et que l'amiral O est placé exactement au centre. Ils se déplacent tous dans le même sens à 86,6 % de la vitesse de la lumière. Comme on peut le constater, l'effet Doppler est très intense à cette vitesse :  

A et B ne reçoivent pas les signaux de O simultanément.

 

Cette vitesse correspond à une valeur bêta de 0,866. Le temps en secondes que mettent les ondes pour franchir une seconde lumière correspond à la réciproque de l'effet Doppler en longueur d'onde, soit : 1 / (1 b) vers l'avant et : 1 / (1 +  b) vers l'arrière.

On présume que O transmet un signal radio avisant A et B qu'il est midi. Ceux-ci étant distants de O d'une demi-seconde lumière, le temps nécessaire en secondes pour que le message leur parvienne sera respectivement de : 1 / (1 b) / 2  et  1 / (1 + b) / 2. A et B ne recevront pas ces signaux simultanément, et c'est d'ailleurs évident en observant l'animation ci-dessus. L'écart sera de 3,464 secondes.

Ce calcul est élémentaire, mais il semble que seul Poincaré l'ait envisagé. Le décalage horaire qui résulte de cette procédure correspond au coefficient de synchronisation  s  de Poincaré :

s =  (1 / (1 b) / 2)    (1 / (1 + b) / 2)        s = b / (1 – b 2 )        s = 3,464

Puisque tout observateur est incapable de connaître sa vitesse absolue à travers l'éther, il peut toujours considérer qu'il est au repos. Dans ces conditions, les horloges de deux observateurs distants d'une seconde lumière et qui se déplacent à la vitesse de 0,866 c n'indiquent pas la même heure. Celle qui est à l'avant, soit celle de B, est forcément en retard de 3,464 secondes sur celle de A. Mais aucun des deux n'est en mesure de s'en rendre compte.

Le fil d'Ariane.

Le décalage horaire est le fil d'Ariane qui conduit à la valeur correcte de la transformation de Lorentz. Il n'a pourtant aucun lien avec la contraction des distances ni avec la dilatation du temps, données par les deux équations de Lorentz. Pour une vitesse donnée sa valeur correspond à une constante indiscutable puisqu'elle dépend strictement de l'effet Doppler.

Mais d'un autre côté Lorentz cherchait à fournir une explication logique au fait que l'interféromètre de Michelson ne fonctionnait pas. À la suite de FitzGerald (indépendamment semble-t-il de celui-ci), il avait noté qu'une contraction de cet interféromètre annulerait la différence de vitesse relative de la lumière sur les axes x et y. Le problème, c'est qu'il existe une infinité de transformations susceptibles d'annuler cette différence de vitesse. Il suffit de respecter la même proportion. Lorentz a échoué et il a présenté en 1895 une valeur inexacte.

C'est sans doute parce qu'il connaissait ce décalage horaire que Poincaré a réussi à trouver la valeur correcte en 1904. Il en a déduit aussitôt un « postulat de Relativité », ce qui fait de lui le découvreur incontestable de la Relativité.

La transformation de Lorentz.

La transformation de Lorentz est traitée dans une page à part. On y montre que dans un référentiel galiléen entraîné dans un mouvement de translation uniforme, il se produit deux transformations fondamentales :

1 - Les distances sont contractées sur l'axe du déplacement selon le coefficient g.

2 - Les horloges ralentissent selon le coefficient g.

Lorentz fut le seul à envisager la contraction réelle de la matière et le ralentissement réel des horloges, et il faut bien admettre qu'il n'en fut jamais vraiment persuadé. Poincaré et Einstein on parlé plutôt d'une contraction de l'espace et d'une dilatation du temps, ce qui les a conduit à la géométrie non euclidienne de Riemann et à la notion d'espace-temps de Minkowski. Tout un monde de complexité et d'absurdités.

L'équation de l'espace de Lorentz montre que les distances sont contractées selon le coefficient  g, et seulement sur l'axe du déplacement. L'équation du temps de Lorentz montre que les horloges ralentissent selon le coefficient  g. Avec l'abscisse du lieu  x  en secondes lumière, Poincaré utilisait la valeur bêta :

x' = (x b t) / g

t' = (t b x) / g

y' = y     z' = z 

g  = (1 b 2 ) 1 / 2 

b = 0,866  (sin 60°)

g = 0,5  (cos 60°)

On note que la transformation de Lorentz correspond au théorème de Pythagore. Cette vitesse a été choisie parce qu'elle provoque une contraction de moitié exactement. À cette vitesse, non seulement les objets mais aussi la distance qui les sépare sont contractés de moitié, soit selon  g. Les horloges avancent de 30 secondes alors que les horloges au repos absolu avancent d'une minute entière, donc aussi selon  g.

Le décalage horaire.

Peu d'auteurs précisent que la formule du temps a ceci de remarquable qu'en plus d'indiquer un ralentissement des horloges, elle indique aussi la valeur du décalage horaire.

Reprenons donc l'exemple des vaisseaux A et B montrés plus haut. Supposons que l'abscisse du lieu où se trouve le vaisseau A correspond à : x = 0  et ceci, au temps  t = 0. On aura évidemment : t' = 0. Or le vaisseau  B  se trouve à une seconde lumière, donc au point : x = 1. Selon (0 0,866) / 0,5 on trouve que t' vaut : 1,732. Il s'agit de l'heure indiquée par l'horloge de B, et nous savons que cette horloge indique des heures réduites de moitié. Selon nos propres horloges, présumées au repos absolu, elle devrait donc retarder de 3,732 secondes.

Cette formule confirme donc le décalage horaire prévu par Poincaré grâce à sa convention de synchronisation. Or le même coefficient indique aussi la contraction de la matière selon  :

x' = (x b t) / g

 Toute autre valeur du coefficient de transformation  g  annulerait la différence de vitesse relative des ondes dans l'interféromètre de Michelson, à la condition de compenser par une contraction (ou même une dilatation) proportionnelle sur un axe transversal. La transformation de Voigt et celle de Michelson comportent en effet une correction transversale. Mais seule la valeur indiquée par Poincaré confirme simultanément le décalage horaire, et elle correspond au point où la correction transversale est nulle :

y' = y          z' = z

La transformation de Lorentz conduit à la Relativité.

On montre à la page sur la théorie de la Relativité que cette contraction associée au décalage horaire font en sorte que les occupants de ces vaisseaux A, O et B sont incapables de constater la moindre anomalie dans le cheminement des ondes qu'ils se transmettent. Tout se passe comme s'ils étaient parfaitement au repos.

En fait, l'amiral O se croira à égale distance des quatre vaisseaux A, B, C et D, et à une seconde lumière de chacun d'eux. L'ellipsoïde de révolution aplati souligné par l'ellipse rouge dans l'animation montrée plus haut semblera pour eux une sphère parfaite, ce qui montre bien que la contraction des distances a réellement lieu.

A et B se croiront distants de deux secondes lumière. Ils ne remarqueront pas que les ondes mettent deux fois plus de temps que la normale pour faire l'aller et retour entre eux. Un signal radar mettra en effet 8 secondes pour faire l'aller et retour entre eux, sachant que leur distance est d'une seule seconde lumière :

1 / (1 b) + 1 / (1 + b) = 8

À cause de leurs horloges plus lentes, A et B mesureront ce délai comme s'il valait 4 secondes et ils en déduiront qu'ils sont distants de 2 secondes lumière à cause de l'aller et retour. Et parce que les horloges de B sont en retard sur celles de A, ils ne seront plus en mesure de constater que la lumière voyage plus lentement de A vers B qu'en sens inverse.

La Relativité, c'est ça. La vitesse de la lumière n'est pas la même dans tous les référentiels galiléens.

Elle y semble toutefois la même. 

Avouez que la nuance est d'importance.

 

 

Gabriel LaFrenière,

Bois-des-Filion en Québec.

absolu2000@hotmail.com

Sur l'Internet depuis septembre 2002.

Dernière mise à jour le 6 décembre 2003.

La théorie de l'Absolu, © Luc Lafrenière, mai 2000.

La matière est faite d'ondes, © Gabriel Lafrenière, juin 2002.

 

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